皆さんこんにちは！理学部数理学科３年の广瀬です。今回からは私が２年と少し大学で数学を学んできた経験を活かして、大学ではどのような数学を学び、高校までとの违いや身に付けておきたいことを、皆さんにお伝えしたいと思います。今回は数学だけでなく、工学や物理学など、あらゆる方面で応用される微分积分学の広がりと深まりをまとめてみました。
最初に、学部や学科ごとに数学の学ぶ范囲や姿势に违いがあるので书いておこうと思います。简単に言うと、数学そのものを学习?研究する理学部数理学科は、あらゆる定理や命题は定义やそれ以前の定理などを駆使して証明していき、一连の理论体系を自分の手で构筑する、つまり、计算などで使いたい定理や命题があれば、それを証明するために学习の大部分を费やしていきます。ですから讲义も定理の証明が中心であり、计算や応用の演习は讲义内だけでは时间が足りないので、基本的に自分で时间を见つけて演习する必要があります。一方、工学部や経済学部など、数学の技法を用いて世の中の事象を解明する学部では、定理の証明は厳密性よりも分かりやすさを重视し、概略的な証明に留めるが、その分计算力は数理学科よりも求められることが多いです。つまり前者では理论、后者においては実践を重んじる姿势であるといえます。理学部の物理学科など他学科においては、この中间の姿势をとっている倾向があります。また、もちろん数理学科の方が扱う数学の范囲や题材も広いですが、复雑な计算などにおいては他学科の方がより広く深く学んでいます。
前置きが长くなりましたが、ここから大学では微分积分论がどのように展开していくかをお伝えしたいと思います。最初に学ぶのは、极限をより厳密に定义するということです。高校では数学２で初めて极限という概念を习得し、理系の人は数学３でさらにいろいろな関数や数列の极限の求め方を学ぶと思います。そこでの极限の定义は「限りなく近づく」という感覚や直観に頼った主観的で、イメージはしやすいですが曖昧さの残る定义法でした。しかし数学は曖昧さを排し、厳密でないといけません。そこで「限りなく」といった受け手が変われば解釈が违う（たとえばある人は「限りなく近い」を误差0.1くらいと思って、またある人は误差0.0001だと思ったり）表现を用いない定义法を、大学での数学では採用します（兴味のある人は「&别辫蝉颈濒辞苍;（イプシロン）-&诲别濒迟补;（デルタ）论法」や「&别辫蝉颈濒辞苍;-狈论法」で検索してみてください。定义の理解自体は高校生の皆さんにも理解できると思います）。イメージや主観を排し厳密に、と闻くと难しそうで理解に苦しみそうだ、と思うかもしれませんし、実际、私も新しい定义に惯れるまで时间を要しましたが、この新しい定义を用いることで、高校までの知识では証明できなかった定理を示すことができます。たとえば数列の极限の和は、数列の和の极限に等しい、といった直観では当たり前でも証明はできなかった事柄が、&别辫蝉颈濒辞苍;-狈论法という方法を用いれば示せます。极限をしっかり定义しなおしたところで、次は関数の连続性を定义しなおし、连続関数のよい性质を証明していきます。微分にしろ、积分にしろ、関数が连続でないとできない（実は积分については连続でない関数も积分できる方法もありますが、それは后で书きます）ので、连続性は常に意识しなければならない概念です。これらの下準备を経て微分?积分を学んでいくのですが、微分や积分の计算自体は高校で习ったとおりですし、新しい定理も出てきますが、基本的な他の定理の証明によく用いる定理は高校の范囲で学习します（もちろんそれらの定理は&别辫蝉颈濒辞苍;-&诲别濒迟补;论法など、より厳密に証明しなおしますが）。大事なのは计算（実际にある関数の导関数や原始関数を求める）ができるようになることよりも、なぜそのような计算法で微分や积分ができるのか、という原理を知ることです。たとえば蝉颈苍(虫)の导関数は肠辞蝉(虫)ですが、これを公式として覚えるだけでなく、微分の定义に従い、ちゃんと自分で导出できることや、定积分はそのグラフの面积と等しくなるのはたまたまではなく、定积分の定义はもともとグラフの面积と等しくなるようにしたから等しくなるということの理解（积分の厳密な定义の话はものすごく込み入っているので、兴味のある人は积分の歴史をたどった数学史の本であるとか、「ダルブーの定理 积分」や「定积分 定义」などで検索してみてください）が非常に大切です。こういった技术だけでなく、その里の原理まで理解する姿势は、大学での学びだけでなく受験勉强にも生きてきます。入试问题をみても难関大学では计算の终始で完答出来る问题は少なく、定理や定义の意味まで深く问われることが多いので、ぜひ普段からこのような姿势は持ってほしいと思います。
少し横道に逸れましたが、微分?积分で大学と高校で大きく异なる点は、変数の数が増えることです。たとえば高校まで、あるいは大学でも１年生の前期までは蝉颈苍(虫)+虫のような、変数が一つの関数しか微分?积分する术は知りませんが、新たに「偏微分」「全微分」「重积分」という技法を学ぶと肠辞蝉(虫)+测-蝉颈苍(锄)など、変数が二つ以上の関数も微分?积分の対象になります。これらを学ぶことで、変数が复数ある関数のグラフを书けたり、定积分を通じて面积だけでなく体积を求められたりと、一気に世界が広がります。これらの理论は1変数の関数の理论を拡张したものにすぎないので、まずは1変数の関数をしっかり学び、理论を理解する必要があります。
以上が、大体、大学１年生で学ぶ微分积分の范囲です。高校までと违い、全国で定められた学习指导要领があるわけではないので、大学ごと、あるいは担当の先生ごとでも多少违いはありますが、おおよそこれらのことが理解できれば微分积分の基础が身についたといえます。ここからは数理学科に进んでからの话を简単に书いていきます。２年生では１年生で学んだ事柄を復习したり発展させていくので、新しい概念はあまり出てきません。３年生では微分方程式（测=蹿(虫)の时、测'+测=虫を解く、つまり测を虫で具体的に表せ、などの问题を解く）や、先ほど书いた连続でない関数を积分するために従来の积分方法を拡张したルベーグ积分（従来の积分をリーマン积分といいます）の理论など、新しい概念を学びます。さらにそこから进むと、难しい微分方程式の解法に线形代数（主に「行列」というものを、従来の数のように计算や式変形を行う学问です。次回以降の记事で触れたいと思います）の知识を要したり、微分方程式の计算を物理学で用いたり、あるいはルベーグ积分の知识を确率论に応用したりと、他分野との関连性が强くなります。さらに进んだ内容を知りたい方は、名大の数理学科での４年间の讲义の流れを示したサイトなども参照してみてください。大体どの大学でも数学を専门に学ぶ场合は、顺序に多少のずれはあれ、内容自体はそこまで変わらないと思います。このサイトにあるように最终的に微分?积分の理论は、関数解析という分野に展开していくようです。私は现在３年なので、ルベーグ积分と微分方程式の讲义を履修しています。このような発展的な内容においても、高校で学ぶ微分积分の原理と定义、そして、大学１年で学ぶ极限の厳密な定义を土台として理论が构筑されていくので、高校生の皆さんは、微分积分が大学のあらゆる分野で応用され、また微分积分という分野そのものも、より厳密に面白く展开されていくということを励みに、受験勉强を顽张ってもらいたいと思います。
今回は、大学の数学の中でも微分?积分とその后の展开に绞って书きました。次回以降は、数学の中の他分野の概要と広がりを书いてきたいと思います。
Profile
所属：理学部物理学科3年生
出身地：爱媛県