皆さんこんにちは！理学部数理学科３年の广瀬です。前回から大学でどのような、また、どのように数学を学ぶかという记事を书かせてもらっています。前回は微分积分についてですが、今回は线形代数についてです。线形代数と闻いてもよくわからないと思いますが、最初のうちはベクトルや、ベクトルを拡张してできる「行列」というものを対象とする数学、と认识してもらえたら大丈夫です。高校では微分积分よりも扱いは小さいですが、大学では线形代数も同じくらいさまざまな分野で応用され、また、线形代数そのものもとても奥が深い领域で、群论など他分野の理论の基础となっています。
名大では多くの１年生（特に理系）が线形代数学という讲义を履修します。内容としては、まず、行列の演算（加法や乗法など）や性质、行列式という新たな概念の导入などを通じて「行列」に主眼をあてて学习します。行列は连立方程式と密接に対応しているので、工学や経済学などのあるデータを用いた解析の际に有用です。たとえば、手计算では途方もなく时间がかかりそうな大きなサイズの（つまり、たくさん変数がある）连立方程式を解く时、コンピュータに解かせるのですが、コンピュータに指示を与える际に连立方程式をそのまま打ち込むのではなく、その方程式と同値な行列の问题を解かせるほうが実用的（早く解を求められる）なのです。単纯な计算の积み重ねならばコンピュータは人间より早く正确に解を导けるのですが、それをコンピュータに计算してもらうには问题を人间が噛み砕いて単纯な演算の连続で解ける形にしてから打ち込む必要があり、この场合の「噛み砕く」の手顺で行列の知识が必要です。また数学においても、あらゆる分野で行列の知识は必要で、几何学は顕着な例です。たとえば、２次元上での座标平面（つまりは虫测平面）上のある点を、原点を中心としてある角度だけ回転させるという操作に対応する行列を回転行列といい、実际に叁角関数を用いて简単な形で表せます。このような行列を考えると、点の回転という几何学的操作を、行列の演算という计算に帰着させられ、问题を解くのに役立ちます。さらに、行列の计算の最も重要な手法として対角化というものがあります。これは微分方程式や累乗を求める际に多くの学问で有益なので、１年生のうちに理系学生の多くが学びます。
次に、行列の概念を「线形空间（ベクトル空间）」というものに拡张しますが、ここでまず「体（たい）」というものを考えます。たとえば、実数全体の集合や有理数全体の集合は、加法と乗法で闭じていて（つまり、任意の実数（有理数）を足したり掛けたりして得られる数も必ず実数（有理数）である）、さらに、结合法则や交换法则、分配法则など、计算の际に利用してきた性质が成り立つことは知っています。このような集合を体といいます（厳密な体の定义は多くの代数の本に载ってますし、「数学 体 定义」で検索しても见つかります）。次に线形空间とは、加法と定数倍（ここで定数とは何かの体の元、たとえば実数や复素数をとります）で闭じていて、さらに结合法则や分配法则が成り立ち、加法において交换法则が成り立つ（乗法においては交换法则が成り立つ必要はない）集合のことです。この定义から、体ももちろん线形空间ですが、体でない线形空间としては高校で习うベクトルがあります。正确には「同じサイズのベクトル全体の集合は线形空间である」（たとえば２次元ベクトルと３次元ベクトルは足したりできませんよね）といえます。ベクトル同士の乗法というものは考えませんでしたが（内积は掛け合わせることとは异なります）加法や定数倍は考えましたよね。同じサイズの行列全体の集合も线形空间の一つです。ここで気づかれた方もいるかもしれませんが、线形代数学とは、线形空间内で成り立つ理论の构筑なのです。行列も线形空间の元なので、行列の理论も具体的な线形代数の一部として学びます。
ここからはキーワードを挟みながら讲义でどのように学ぶかを简単に触れていきます。気になる分野やキーワードがあればぜひ検索してみたり、数学の先生に闻いてみたり、代数の本で调べてみてください。１年生においては行列を学んだあとは２年生以降に向けて抽象的な线形空间に少し触れて、その后、非常に重要な概念である「基底」というものを学びます。他学科の多くの人は线形代数について、これ以上抽象的な概念は习わないと思います。しかし、先にも触れましたが、计算の际に行列やベクトルの计算は频繁に出てくるので、早い段阶で习熟しておくといいと思います。数理学科に进んだ场合は２年生で线形空间の性质を広く学び、また、行列に関して「ジョルダン标準形」という计算に优れた形に変形する手法を学びます。３年生以降では线形空间に似た概念で、「群」や「环」、「体」を线形空间の时と同じように、成り立つ性质を証明しながら対象に対する理解を深めていきます。これらの分野は线形代数学をさらに拡张した「代数学」と呼ばれます。简単に绍介しておくと、群とは「対称性を保つ动きを元にもつ集合」で、环とは多项式のように加法と乗法が定まった集合のことです。私は现在、群について学び始めたばかりなので详しいことはまだわかりませんが、勉强の仕方としては２年生での线形空间の勉强法と似ているので、线形空间という非常に重要な概念の理解という点でも、抽象的な概念に対峙する勉强法の会得という点でも、２年生での学习はしっかり行うべきだと思います（私自身も、线形代数に限りませんが、もっと勉强すればよかったと感じています）。これらを発展させて、有名な「ガロア理论」に至るまでの理论の构筑が、代数学の学部４年における集大成と言えるでしょう。ガロア理论とは、简単にまとめると方程式はなぜ解けるか、という问いに体や群の考えを用いて答えたものです。今回も名大数理学科の讲义の概要を载せたサイトを贴っておくので兴味のある方はのぞいてみてください。丑迟迟辫蝉://飞飞飞.尘补迟丑.苍补驳辞测补-耻.补肠.箩辫/箩补/别诲耻肠补迟颈辞苍/2018/耻驳-肠耻谤谤颈肠耻濒耻尘-1.丑迟尘濒
以上が、数理学科に进んだ场合の行列から始まりガロア理论にまで至る代数学の展开です。最初は难しそうに闻こえるでしょうが、一つひとつ丁寧に计算演习や定理の証明やその実例を追っていけば、きっと理解できるはずです。代数学について、高校までの分野で関係が深いのはベクトルです。しかし、高校までで习うことは全て、どの领域でも前提知识として求められるので、入试で数学を得点源にするという意味でも、大学で数学を学びたいと思った人は、苦手分野を作らないで数学を学んでいってほしいと思います。次回も数学の一分野を取り上げた记事を书きたいと思います。
Profile
所属：理学部物理学科3年生
出身地：爱媛県