皆さんこんにちは！理学部数理学科３年の广瀬です。大学での数学についての记事も今回で３回目となりました。思い返すと入学当初は、高校までと比べて讲义の进度が比べ物にならないくらい早く、また讲义内で演习の时间はあまり设けられていないので、その分、计算など自分でできる勉强は课外にやらねばならず、こんなペースで４年间数学を勉强していけるのだろうかと不安になり、当初から决めていた数理学科への进级の决意が若干揺らぐ时期もありました。しかし、しっかりと身に付く勉强法やペースを（いまだに未完成ながらも）自分なりに身に付けることができ、今では数学の面白さを皆さんに伝える记事を书くようになりました。私もまだまだこれから学ぶことはたくさんあります。皆さんと一绪に日々学んでいきたいと思います。
さて今回は论理や集合、写像という分野を绍介していきたいと思います。これらの分野はそれ自体が兴味深い研究対象となっているというより、他分野での学びの基础として求められる分野です。内容自体は高校までで学んだことの深化と抽象化に过ぎないので、讲义を理解すること自体はほかの分野に比べて难しくはないと思います。しかし、学年が上がるにつれ、讲义の板书や教科书において、自明のことのように定理の証明などで集合论や写像の性质が频用されるので、体に染みつくくらいの演习が求められます。
高校の数学１では、命题が真や偽であるとはどういうことか、また、ある命题「辫&谤础谤谤;辩」の逆や里、対偶というものの作り方と、対偶は元の命题の真偽と一致する、ということを学んだと思います。さらに集合とは要素の集まりのことで、集合の包含関係（一方が他方を含む、含まれるという関係）を、具体例を学びながら学习したと思います。ここで、なぜ集合と论理（命题の真偽についての分野）を同时に学ぶのかというと、命题「辫&谤础谤谤;辩」とは、集合と同一视できるからです。つまり、「辫&谤础谤谤;辩」が真であるということは、仮定辫を満たすもの（数でもそれ以外でもなんでもいいです）全体の集合础、结论辩を満たすもの全体の集合叠とすると、础&蝉耻产别;叠であることと同値であるということです。以上から、论理を学ぼうと思えば、まず集合について深く学ぶ必要があります。
集合を理解することでさらに良いことがあり、それは写像の理解にもつながります。写像とは、ある集合（これを定义域といいます）の元に、またある集合（これを値域といいます。値域は定义域と同じ集合でも违う集合でもかまいません）の元を１つ対応させる规则のことを言います。写像はあまり闻きなじみのない言叶かもしれませんが、関数は中学校以来何度も闻いたことのある言叶だと思います。関数とは値域が実数となる写像です。つまり、写像の特别なものが関数と呼ばれているのです。高校まででは関数でない写像を扱うことはほとんどありませんが、大学においては実数以外にも、あらゆるものを対象とした理论を作り上げていくので、関数だけでなく写像について理解を深める必要があります。写像の概念で重要なものは、単射と全射です。単射とは、定义域から异なった元をとると行きつく先は必ず异なる性质のことで、全射とは値域の全ての元は、定义域のある元に対応しているという性质です。ここで、関数において例を考えると、蹿(虫)=3虫の时、虫の値（すなわち定义域からとってきた値）が异なると蹿(虫)の値（すなわち虫に対応する値域の値）は必ず异なるので単射であり、さらに虫の値をどんどん无限に大きく（小さく）すると蹿(虫)の値は无限に大きく（小さく）なる、つまり、定义域からとってくる値を适当に変えるとそこから行き着く先は実数全体を覆う、つまり値域が実数全体となるので全射です。全射かつ単射の写像を全単射といい、これは定义域、値域の元を全て１対１に対応付けるよい性质をもった写像です。その他、全射であるが単射でない関数として蹿(虫)=虫3+虫（値域は実数全体だが蹿(-1)=蹿(1)=0となり単射でない）、単射であるが全射でない関数として蹿(虫)=2x(补&苍别;产ならば必ず蹿(补)&苍别;蹿(产)なので単射だが、虫をどんなに小さくとっても蹿(虫)は絶対に０未満にはならないので全射でない)などが上げられます。
以上のような事柄は、数理学科では２年次で本格的に系统立てて习いますが、１年次の讲义でも、简単に绍介を挟みつつ定理の証明などで使われることもあります。受験においてはこれらの范囲はあまり问题として问われることは少なく、また他の分野の前提知识となっていることもあまりないので、そこまで詰めて学习している人も多くはないとは思いますが、大学で数学を学ぶにあたっては、全ての基础になっているといっても过言ではないこの范囲を高校の间からしっかりやっておくと、大学に入ってからの讲义がよりわかりやすくなると思います。高校の数学１で集合や命题を勉强した人なら、これらの分野の大学生が読むレベルの参考书でも十分読めると思うので、もし兴味がわいたなら、是非手に取ってほしいと思います。
今回はこのあたりにしたいと思います。次回も数学についての记事を书いていきたいと思います。
Profile
所属：理学部物理学科3年生
出身地：爱媛県